题目内容
设函数f（x）=x|x-a|+b，求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．
分析：根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性成立即可．
解答：证明：充分性：∵a2+b2=0，
∴a=b=0，
∴f（x）=x|x|，
∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|，-f（x）=-x|x|，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
必要性：若f（x）为奇函数，
则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，
即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立，
令x=0，则b=-b，
∴b=0，
令x=a，则2a|a|=0，
∴a=0，
即a2+b2=0成立．
综上：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．
∴a=b=0，
∴f（x）=x|x|，
∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|，-f（x）=-x|x|，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
必要性：若f（x）为奇函数，
则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，
即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立，
令x=0，则b=-b，
∴b=0，
令x=a，则2a|a|=0，
∴a=0，
即a2+b2=0成立．
综上：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．
点评：本题主要考查充要条件的证明，要根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性成立．比较基础．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
| ||||||||
D、[-
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