Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+ |
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2 对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．

x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣ ，∴x＜﹣ ；

﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；

x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞ ，∴x＞ ；

综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣ 或x＞ }

（2）解：f（x）=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，

不等式f（x）≥m2﹣m+2 对任意实数x及a恒成立，∴2 m2﹣m+2 ，

∴0≤m≤1．

【解析】（1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2 对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．