题目内容

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量 $数学公式$ ，那么以B，C为焦点且过点D，E的双曲线的离心率是________．

$\text{[math]}$
分析：设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则E的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），由题意知可设双曲线的方程为 $\text{[math]}$ =1，把E的坐标代入双曲线的方程化简可得4a⁴-8a²c²+c⁴=0，求得 $\text{[math]}$ 的值，即可得到 $\text{[math]}$ 的值．
解答：由向量 $\text{[math]}$ ，可得DE是△ABC的中位线，
设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
则E的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
由题意知可设双曲线的方程为 $\text{[math]}$ =1，
把E的坐标代入双曲线的方程得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0，
∵ $\text{[math]}$ ＞1，∴ $\text{[math]}$ =4+2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出E的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），是解题的关键．