Question

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量

DE

=

1

2

BC

，那么以B，C为焦点且过点D，E的双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

分析：设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则E的坐标为（

c

2

，

3

2

c），由题意知可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，把E的坐标代入双曲线的方程化简可得4a⁴-8a²c²+c⁴=0，求得

c2

a2

的值，即可得到

c

a

的值．

解答：解：由向量

DE

=

1

2

BC

，可得DE是△ABC的中位线，
设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
则E的坐标为（

c

2

，

3

2

c），
由题意知可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
把E的坐标代入双曲线的方程得

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0，
∵

c2

a2

＞1，∴

c2

a2

=4+2

3

，∴

c

a

=

3

+1，
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出E的坐标为（

c

2

，

3

2

c），是解题的关键．