题目内容
某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同．现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工．设加工A型零件的工人有x人，在单位时间内每人加工A型零件5k个 （k∈N*），加工完A型零件所需时间为g（x），加工完B型零件所需时间为h （x）．
（Ⅰ）试比较g（x）与h（x）大小，并写出完成总任务的时间f（x）的表达式；
（Ⅱ）怎样分组才能使完成任务所需时间最少？
（Ⅰ）试比较g（x）与h（x）大小，并写出完成总任务的时间f（x）的表达式；
（Ⅱ）怎样分组才能使完成任务所需时间最少？
分析：（Ⅰ）由题意，A型零件共需要4500个，B型零件共需要1500个，加工B型零件的工人有214-x人，单位时间内每人加工B型零件3k个，可求的g(x)=
=
，h(x)=
=
，比较g（x）与h（x）的大小，即可得到分段函数；
（Ⅱ）分组才能使完成任务所需时间最少，即求当x为何值时，f（x）最小，根据当1≤x≤137（x∈N*）时，g(x)=
为减函数；当137≤x≤213（x∈N*）时，h(x)=
为增函数，即可得到结论．
| 4500 |
| 5kx |
| 900 |
| kx |
| 1500 |
| 3k(214-x) |
| 500 |
| k(214-x) |
（Ⅱ）分组才能使完成任务所需时间最少，即求当x为何值时，f（x）最小，根据当1≤x≤137（x∈N*）时，g(x)=
| 900 |
| kx |
| 500 |
| k(214-x) |
解答：解：（Ⅰ）由题意，A型零件共需要4500个，B型零件共需要1500个，加工B型零件的工人有214-x人，单位时间内每人加工B型零件3k个，所以g(x)=
=
，h(x)=
=
∴g（x）-h（x）=
×
∵0＜x＜214，且x∈N*，∴当1≤x≤137（x∈N*）时，g（x）＞h（x）；当137≤x≤213（x∈N*）时，g（x）＜h（x）；
∴f（x）=
（其中x∈N*）
（Ⅱ）分组才能使完成任务所需时间最少，即求当x为何值时，f（x）最小
∵当1≤x≤137（x∈N*）时，g(x)=
为减函数；当137≤x≤213（x∈N*）时，h(x)=
为增函数
=
×
＜1
∴x=137时，f（x）最小
即加工A型零件137人，加工B型零77人，完成任务所需时间最少
| 4500 |
| 5kx |
| 900 |
| kx |
| 1500 |
| 3k(214-x) |
| 500 |
| k(214-x) |
∴g（x）-h（x）=
| 100 |
| k |
| 2(963-7x) |
| x(214-x) |
∵0＜x＜214，且x∈N*，∴当1≤x≤137（x∈N*）时，g（x）＞h（x）；当137≤x≤213（x∈N*）时，g（x）＜h（x）；
∴f（x）=
|
（Ⅱ）分组才能使完成任务所需时间最少，即求当x为何值时，f（x）最小
∵当1≤x≤137（x∈N*）时，g(x)=
| 900 |
| kx |
| 500 |
| k(214-x) |
| f(137) |
| f(138) |
| 900 |
| 137k |
| 76k |
| 500 |
∴x=137时，f（x）最小
即加工A型零件137人，加工B型零77人，完成任务所需时间最少
点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型的问题．解题的关键是根据题意求得函数的解析式．
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与
大小, 并写出完成总任务的时间
的表达式；