Question

已知以y=±

3

x为渐近线的双曲线D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，若P为双曲线D右支上任意一点，则

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范围是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：根据双曲线D的渐近线是y=±

3

x，得到b=

3

a，从而c=

a2+b2

=2a．再由P为双曲线D右支上一点，得到|PF₁|-|PF₂|=2a，结合|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，代入式子

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

，即可得到要求的取值范围．

解答：解：∵双曲线D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的渐近线是y=±

3

x，
∴

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
∵P为双曲线D右支上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

≤

2a

2c

=

a

c

∵c=2a，可得

a

c

=

1

2

∴

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范围是（0，

1

2

]
故答案为：（0，

1

2

]

点评：本题给出双曲线的渐近线方程，求它的离心率，并求其右支上一点到两个焦点的距离差与距离之和的比值的取值范围，着重考查了双曲线的基本概念和不等式的基本性质，属于中档题．