Question

18．已知函数f（x）=2cosxsinx+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（2x）的最小正周期与单调递增区间．

Answer 1

分析 化简函数f（x）为正弦型函数，（1）利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值；
（2）求出f（2x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=2cosxsinx+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（1）令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
此时f（x）取得最大值2；
（2）∵f（2x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴f（2x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（2x）的单调递增区间是：
[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．