Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点．EP⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AQ∥平面CEP；
（Ⅱ）求证：平面AEQ⊥平面DEP；
（Ⅲ）若EP=AP，求二面角Q-AE-P的大小．

Answer 1

分析：（I）根据矩形的性质，结合题意证出四边形AQCP为平行四边形，得CP∥AQ．利用线面平行判定定理，即可证出AQ∥平面CEP；
（II）建立如图所示空间直角坐标系P-xyz，设AD=a，PE=b，可得A、Q、E、D各点的坐标，从而算出

AQ

、

PE

和

PD

的坐标，算出

AQ

•

PE

=0且

AQ

•

PD

=0，从而得到AQ⊥PD且AQ⊥PE，利用线面垂直判定定理证出AQ⊥平面DEP，进而得到平面AEQ⊥平面DEP；
（III）EP=AP即a=b，得

AE

=（-a，0，a）．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出

n

=（a，a，a）是平面AEQ的一个法向量，结合平面AEP的一个法向量为

PQ

=（0，a，0），利用空间向量公式算出

n

、

PQ

的夹角，即可得到二面角Q-AE-P的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AP=PB，DQ=QC，
∴AP

∥ .

.

CQ，可得四边形AQCP为平行四边形，得CP∥AQ．
∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．（4分）
（Ⅱ）如图，分别以PA、PQ、PE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系P-xyz，
设AD=a，PE=b，可得
A （a，0，0），Q （0，a，0），E （0，0，b），D （a，a，0）．
∴

AQ

=（-a，a，0），

PE

=（0，0，b），

PD

=（a，a，0）．
∵

AQ

•

PE

=0，∴AQ⊥PE．
∵

AQ

•

PD

=0，∴AQ⊥PD．
又∵PE∩PD=P，∴AQ⊥平面DEP．
∵AQ?平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP．（9分）
（Ⅲ）∵EP=AP，即a=b，∴

AE

=（-a，0，a）．
设平面AEQ的法向量

n

=（x，y，z）．
∵

AE

•

n

=0，

AQ

•

n

=0，
∴

(-a)•x+0•y+a•z=0 (-a)•x+a•y+0•z=0

，可得

x=z y=x.

不妨设z=a，则

n

=（a，a，a）．
平面AEP的一个法向量为

PQ

=（0，a，0），
设

n

与

PQ

的夹角为θ，则cosθ=

n• PQ

|n|•| PQ |

=

3

3

．
∴二面角Q-AE-P的大小为arccos

3

3

．（14分）

点评：本题在特殊四棱锥中求证线面平行、面面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间垂直、平行位置关系的判断与证明和利用空间坐标系研究面面角等知识，属于中档题．