Question

6．已知关于x的不等式|2x-m|≤1有且仅有一个整数解且其值为2．
（1）求整数m的值；
（2）在（1）条件下，求不等式|x-1|+|x-3|≥m的解集．

Answer 1

分析 （1）由不等式|2x-m|≤1，可得 $\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$，再由不等式仅有一个整数解2，求得m的值．
（2）分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．

解答 解：（1）由不等式|2x-m|≤1，可得 $\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$，∵不等式的整数解为2，
可得 $\frac{m-1}{2}$≤2≤$\frac{m+1}{2}$，求得 3≤m≤5．
再由不等式仅有一个整数解2，∴m=4．
（2）本题即解不等式|x-1|+|x-3|≥4，
当x≤1时，不等式等价于 1-x+3-x≥4，解得 x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．
当1＜x≤3时，不等式为 x-1+3-x≥4，解得x∈∅，不等式解为∅．
当x＞3时，x-1+x-3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．
综上，不等式解为（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 此题考查绝对值不等式的性质及其解法，要注意进行分类讨论，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．