Question

计算：
（1）

(-1+i)(2+i)

i3

；
（2）

1-i

(1+i)2

+

1+i

(1-i)2

；
（3）（

1+i

2

）²⁰⁰⁹+（

1-i

2

）²⁰⁰⁹．

Answer 1

分析：（1）利用复数的乘法法则及复数单位的意义化简分子，和分母，再将分子、分母同乘以分母的共轭复数按多项式乘法展开得到答案．
（2）利用完全平方公式及虚数单位意义化简分母，再将分子、分母同乘以分母的共轭复数再按多项式乘法展开即得答案．
（3）先求1+i和1-i的平方，再利用i²=-1求出i¹⁰⁰⁴，代入计算可得答案．．

解答：解：（1）

(-1+i)(2+i)

i3

=

-3+i

-i

=-1-3i．
（2）

1-i

(1+i)2

+

1+i

(1-i)2

=

1-i

2i

+

1+i

-2i

=

1+i

-2

+

-1+i

2

=-1．
（3）（

1+i

2

）²⁰⁰⁹+（

1-i

2

）²⁰⁰⁹=

1

( 2 )2009

[（1+i）²⁰⁰⁸•（1+i）+（1-i）²⁰⁰⁸•（1-i）]=

1

( 2 )2009

[（2i）¹⁰⁰⁴•（1+i）+（-2i）¹⁰⁰⁴•（1-i）]=

1

2

[1•（1+i）+1•（1-i）]=

2

．

点评：本题考查复数的代数运算法则及复数的虚数单位的意义．