Question

某油库己储油料A吨，按计划正式运营后的第一年进油量为己储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出B吨，设A_n为正式运营后第n年底的储油量.

（1）求A_n的表达式并加以证明；

（2）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于A吨，如果B=A吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由.

（取1g2=0.30，1g3=0.48）

Answer 1

答案：
解析：

（1）依题意，油库原有储油量为A吨，则A1=A－B, A2=A1－B=()2A－(+1)B, A3=A2－B=()3A－[()2++1]B, 推测：An=（）nA－[ ()n－1+ ()n－2+…++1]B=（）nA－4[ ()n－1]B(n∈N*). 用数学归纳法证明. ①当n=1时，A1=A－4[ (－1)B=A－B，推测成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N*)时，Ak=（）kA－4[()k－1]B成立 当n=k+1时，依题意Ak+1=Ak－B. ∴Ak+1={()kA－4[()k－1]B}－B =()k+1A－4[()k+1－]B－B =()k+1A－4[()k+1－1]B. 即当n=k+1时，推测也成立. 由①②知，对于n∈N*,推测成立. （2）如果B=A吨时，该油库第n年年底储油量不得少于A吨，即（）nA－4[()n－1]· A≥A.即（）n≤3. n≤1og3==4.8. 说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营.