Question

(18)如图,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

 

(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D₁E⊥平面AB₁F;

(Ⅱ)当D₁E⊥平面AB₁F时,求二面角C₁—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示).

Answer 1

(18)本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力.

解法一：

(Ⅰ)连结A₁B,则A₁B是D₁E在面ABB₁A₁内的射影.

∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁

于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

连结DE,则DE是D₁E在底面ABCD内的射影.

∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

∵ABCD是正方形,E是BC的中点,

∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

即当点F是CD的中点时,D₁E⊥平面AB₁F.                  

(Ⅱ)当D₁E⊥平面AB₁F时,由(Ⅰ)知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连结AC,设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.连结C₁H,则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

∴C₁H⊥EF,即∠C₁HC是二面角C₁—EF—C的平面角.

在Rt△C₁CH中,∵C₁C=1,CH=AC=,

∴∠C₁HC=arctan2,从而∠AHC₁=π－arctan2.

故二面角C₁—EF—A的大小为π－arctan2.

解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

(Ⅰ)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1),B₁(1,0,1),D₁(0,1,1),

E(1,,0),F(x,1,0).

∴=(1,－,－1),=(1,0,1),=(x,1,0).

∴·=1－1=0,即⊥.

于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF·=0x－=0.

即x=.故当点F是CD的中点时,D₁E⊥平面AB₁F.

(Ⅱ)当D₁E⊥平面AB₁F时,F是CD的中点.又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.连结C₁H,则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

∴C₁H⊥EF,即∠AHC是二面角C₁—EF—A的平面角.

∵C₁(1,1,1),H(,,0),

∴=(,,1),=(－,－,0).

∴cosAHC₁=,

即∠AHC₁=arccos(－)=π－arccos

故二面角C₁—EF—A的大小为π－arccos.