Question

（18）如图，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，

且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；

（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式

      V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是
          V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判

      断V_估与V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）

Answer 1

（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，

  考查空间想象能力和逻辑能力.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅰ）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G.

 

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，

 

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

 

∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.

 

过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H.

 

由于相对侧面与底面所成二面角大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形.

∴PG=（b－d），

 

又B₁G=h，

 

∴tanB₁PG=（b＞d）,

 

∴∠B₁PG=arctan，

 

即所求二面角的大小为为arcot.

 

（Ⅱ）证明：∵AB、CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

∴AB∥面CDEF.

∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，

∴AB∥EF.

∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABC（D）

 

（Ⅲ）V_估＜V

      证明：∵a＞c，b＞d

 

  ∴V－V_估=（cd+ab+4··）－·h

          =［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

         =（a－c）（b－d）＞0

      ∴V_估＜V.