Question

设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是

1. A.
   a＞0
2. B.
   
3. C.
   a＞0或a＜-12
4. D.
   

Answer 1

B
分析：法一：y=x²+ax-3a的对称轴是x=．①当-≥1时，x=-1时有最大值a＞，与a≤-2相矛盾．②当时，x=-1或x=1时，有最大值．x=-1有最大值a＞，故；当x=1有最大值1-2a＜0，a，故．③当≤-1，即a≥2时，x=1时有最大值1-2a＜0，a，a≥2．由此能求出实数a的范围．
法二：设f（x）=x²+ax-3a，由对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，知，由此能求出实数a的范围．
解答：解法一：y=x²+ax-3a的对称轴是x=．
①当-≥1，即a≤-2时，x=-1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞，与a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②当，即-2＜a＜2时，
x=-1或x=1时，有最大值．
由①知，x=-1有最大值时，其最大值是a＞，故；
当x=1有最大值时，其最大值是1-2a＜0，即a，故．
∴；
③当≤-1，即a≥2时，
x=1时有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a，
∴a≥2．
综上所述，a＞．
故选B．
解法二：设f（x）=x²+ax-3a，
∵对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，
∴，
即，
∴，故．
故选B．
点评：本题考查函数的恒成立问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讲座思想的合理运用．