Question

（2011•杭州一模）设对任意实数x＞0，y＞0，若不等式x+

xy

≤a（x+2y）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A．

  6 +2

  4

• B．

  2+ 2

  4

• C．

  6 + 2

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：分离参数可得：a≥

x+ xy

x+2y

=

1+ y x

1+ 2y x

，令

y x

=t(t＞0)，则a≥

1+t

1+2t2

令1+t=m（m＞1），

1+t

1+2t2

=

m

3+2m2-4m

=

1

3 m +2m-4

，求出最大值，即可求得a的最小值．

解答：解：分离参数可得：a≥

x+ xy

x+2y

=

1+ y x

1+ 2y x

令

y x

=t(t＞0)，则a≥

1+t

1+2t2

令1+t=m（m＞1），

1+t

1+2t2

=

m

3+2m2-4m

=

1

3 m +2m-4

∵m＞1，∴

3

m

+2m≥2

6

（当且仅当m=

6

2

时，取等号）
∴

3

m

+2m-4≥2

6

-4
∴0＜

1

3 m +2m-4

≤

1

2 6 -4

∴0＜

1

3 m +2m-4

≤

6 +2

4

∴a≥

6 +2

4

∴a的最小值为

6 +2

4

．

点评：本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是分离参数，转化为求函数的最值．