Question

已知实数a，b满足：

a-b+1≥0 2a-b-1＜0 2a+2b-1≥0

，z=（a-b-1）²，则z的取值范围是

（

1

4

，4]

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部（不含BC边），将k=a-b-1对应的直线进行平移，求得k的取值范围，再平方即可得到z的取值范围．

解答：解：作出不等式组

a-b+1≥0 2a-b-1＜0 2a+2b-1≥0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部（不含BC边），其中
A（-

1

4

，

3

4

），B（2，3），C（

1

2

，0）
设k=a-b-1，将直线l：k=a-b-1进行平移，
观察x轴上的截距变化，可得
当l与直线AB重合时，目标函数z达到最小值，得k_最小值=-2；
当l经过点C时，目标函数z达到最大值，由于区域内不含有点C，得k＜-

1

2

∴-2≤a-b-1＜-

1

2

，平方得

1

4

＜（a-b-1）²≤4，
即得z的取值范围是（

1

4

，4]．
故答案为：（

1

4

，4]．

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．