Question

已知函数．
（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；
（Ⅲ）试证明：.

Answer 1

（Ⅰ）在区间上是减函数;
（Ⅱ）当时，恒成立，
即在上恒成立，
构造，；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

解析试题分析：（Ⅰ）由题
故在区间上是减函数;               3分
（Ⅱ）当时，恒成立，
即在上恒成立，
取，则h′(x)，       5分
再取则 
故在上单调递增，
而，
故在上存在唯一实数根，
故时，时， 
故
故                    7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
又


即：          12分
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及不等式证明。
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及恒成立问题、不等式证明问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。