Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），函数f（x）=2

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，2π]时，求f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积运算表示出函数f（x）的解析式，然后再由三角函数二倍角公式和辅角公式化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=

2π

w

得到答案．
（2）将2x-

π

4

看作一个整体，使其满足2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z).求出x的范围，再由x∈[0，2π]求交集即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=2

a

•

b

+1=2（cosx，sinx）•（-cosx，cosx）+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1
=1-2cos²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x
=

2

sin(2x-

π

4

)
所以f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π.
（Ⅱ）依条件得2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z).
解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

(k∈Z).
又x∈[0，2π]，所以

3π

8

≤x≤

7π

8

，

11π

8

≤x≤

15π

8

.
即当x∈[0，2π]时，f（x）的单调减区间是[

3π

8

，

7π

8

]，[

11π

8

，

15π

8

].

点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数的基本性质．三角函数和向量的综合题是高考的热点，每年必考，要给予重视．