Question

已知函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x），则对于任意实数a、b，a+b≠0，

f(a)+f(b)

a+b

取值的情况是（　　）

• A、大于0
• B、小于0
• C、等于0
• D、不确定

Answer 1

分析：先由函数的解析式推出函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x）是奇函数，且在R上单调增；再设a+b＞0得a＞-b，所以f（a）＞f（-b）?f（a）+f（b）＞0即可推得结论．

解答：解：∵函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x），
∴f（-x）=（-x）³-log3(

(-x)2+1

-(-x))=-x³-log3

1

x2+1 -x

=-x³+log3(

x2+1

-x)=-f（x）．

x2+1

-x=

1

x2+1 +x

在R上单调减，x³在R上单调增
∴函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x）是奇函数，且在R上单调增．
不妨设a+b＞0，则a＞-b，所以f（a）＞f（-b），
所以f（a）+f（b）＞0，
所以

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
故选  A．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，是对函数基本性质的综合考查，属于中档题．解决本题的关键在于由函数的解析式推出函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x）是奇函数，且在R上单调增这一结论．