题目内容
如图正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，在侧棱BB1上截取
，在侧棱CC1上截取CE=a，过A，D，E作棱柱的截面．（1）求证：截面ADE⊥侧面ACC1A1；
（2）求截面ADE与底面ABC所成的角．
【答案】分析：（1）取AE、AC的中点O、S，连接DO，OS，BS，证明OD⊥侧面ACC1A1，四边形OSBD是矩形，即可证明截面ADE⊥侧面ACC1A1；
（2）利用射影面面积与被射影面面积之比，求出求截面ADE与底面ABC所成的角的余弦值，然后求出角．
解答：
解：（1）证明：取AE、AC的中点O、S，连接DO，OS，BS，
正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，在侧棱BB1上截取
，
在侧棱CC1上截取CE=a，
易得四边形OSBD是矩形，并且SB⊥侧面ACC1A1，
即OD⊥侧面ACC1A1
所以截面ADE⊥侧面ACC1A1；
（2）截面ADE与底面ABC所成的角为θ
所以cosθ=
=
θ=45°
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
（2）利用射影面面积与被射影面面积之比，求出求截面ADE与底面ABC所成的角的余弦值，然后求出角．
解答：
解：（1）证明：取AE、AC的中点O、S，连接DO，OS，BS，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，在侧棱BB1上截取
，在侧棱CC1上截取CE=a，
易得四边形OSBD是矩形，并且SB⊥侧面ACC1A1，
即OD⊥侧面ACC1A1
所以截面ADE⊥侧面ACC1A1；
（2）截面ADE与底面ABC所成的角为θ
所以cosθ=
=
θ=45°
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
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