题目内容
（2012•嘉定区三模）如图，设A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等边三角形．记以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ．（1）若点A的坐标为（
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| 4 |
| 5 |
| sin2θ+sin2θ |
| cos2θ+cos2θ |
（2）设f（θ）=|BC|2，求函数f（θ）的解析式和值域．
分析：（1）根据A的坐标，利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，再利用二倍角公式，即可得到结论；
（2）由题意，cos∠COB=cos（θ+60°），利用余弦定理，可得函数f（θ）的解析式，从而可求函数的值域．
（2）由题意，cos∠COB=cos（θ+60°），利用余弦定理，可得函数f（θ）的解析式，从而可求函数的值域．
解答：解：（1）∵A的坐标为（
，
），以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ
∴根据三角函数的定义可知，sinθ=
，cosθ=
，
∴
=
=
=20；
（2））∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（θ+60°）
∴f（θ）=|BC|2 =|OC|2+|OB|2-2|OC|•|OB|cos∠COB=2-2cos（θ+60°）
∵θ∈R，∴f（θ）∈[1，3]．
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴根据三角函数的定义可知，sinθ=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴
| sin2θ+sin2θ |
| cos2θ+cos2θ |
| sin2θ+2sinθcosθ |
| cos2θ+2cos2θ-1 |
| ||||||
3•
|
（2））∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（θ+60°）
∴f（θ）=|BC|2 =|OC|2+|OB|2-2|OC|•|OB|cos∠COB=2-2cos（θ+60°）
∵θ∈R，∴f（θ）∈[1，3]．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．
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