Question

斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2，侧棱AA₁和底面相邻两边AB、AC都成45°角，求全面积和体积.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：由题意可知，这个斜三棱柱可以看作是将正三棱柱沿着侧棱AA1正对着侧面BCC1B1的方向推斜而成的，要求它的全面积，关键在于求侧面C1B1BC的面积，根据直觉可以推断侧面C1B1BC是矩形，因此应该先来证明侧面C1B1BC是矩形. 作A1O⊥底面ABC于O，在底面上过O作OD⊥AC于点D，作OF⊥AB于点F，连结A1D、A1F，由AB⊥OF、AB⊥A1O，可得AB⊥面A1FO，∴AB⊥A1F.同理AC⊥A1D. 易证Rt△A1AD≌Rt△A1AF. ∴A1D=AD=AF=. ∴Rt△FAO≌Rt△DAO.因此∠BAO=∠CAO=30°，∴OD=，AO=2. 设AO的延长线交BC于点E，则BC⊥AE. 又∵BC⊥A1O，∴BC⊥面A1AO.∴BC⊥A1A. 又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，即侧面C1B1BC是矩形. 在Rt△A1AO中，可得A1O==2. ∴S全=2×2×+2×2+2××22=4+6，V=×22×2=2.