Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，E为AB的中点，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-A₁E-C余弦值的大小．

Answer 1

分析：（I）BC⊥AC，根据A₁D⊥底ABC，得到A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，从而BC⊥AC₁，又因BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知AC₁⊥底A₁BC；
（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁为菱形，从而可得△A₁AE≌△A₁CE．作AF⊥A₁E于F，连CF，则CF⊥A₁E，故∠AFC为二面角A-A₁E-C的平面角，从而可求二面角B-A₁E-C余弦值的大小．

解答：证明：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，
因为A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，
因为A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁，
因为BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁为菱形，
∴∠A₁AC=60°AA₁=AC=A₁C=2，
又CE=EA，故△A₁AE≌△A₁CE．
作AF⊥A₁E于F，连CF，则CF⊥A₁E，
故∠AFC为二面角A-A₁E-C的平面角，
∵A1E=

A1D2+DE2

=2，AF=CF=

AE• AA12-( AE 2 )2

A1E

=

7

4

∴cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

=-

1

7

．
故二面角B-A₁E-C余弦值的大小

1

7

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及面面角等有关知识，同时考查了数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题