Question

（2012•黔东南州一模）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂引直线l，与C的右准线交于A点，与C交于B、C两点，与y轴交于D点，若

AB

=

BC

=

CD

，则C的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  5

  3

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由题意可得C的右准线方程为：x=

a2

c

，由

AB

=

BC

=

CD

可求得点A，B，C的横坐标，利用椭圆的第二定义可求得|BF₂|，|CF₂|，设B、C在x轴上的射影依次为B₁、C₁，由△BB₁F₂与△CC₁F₂相似可得xF2-x_C=2（x_B-xF2），从而可得答案．

解答：解：依题意得x_A-x_B=x_B-x_C=x_C-x_D，又x_D=0，
∵C的右准线方程为：x=

a2

c

，
∴x_A=

a2

c

，又x_A=2x_B-x_C=2×2x_C-x_C=3x_C，
∴x_C=

1

3

x_A=

a2

3c

，x_B=

2a2

3c

，则由椭圆的第二定义知
|BF₂|=

a

3

，|CF₂|=

2a

3

，即|CF₂|=2|BF₂|，
设B、C在x轴上的射影依次为B₁、C₁，易知△BB₁F₂与△CC₁F₂相似，
从而xF2-x_C=2（x_B-xF2），即c-

a2

3c

=2（

2a2

3c

-c），
∴

c2

a2

=

5

9

，
∴e=

5

3

故选B．

点评：本题考查椭圆的简单性质，用向量作为杠杆，求得点A，B，C的横坐标是关键，也是难点，考查分析转化与运算的能力，属于难题．