Question

【题目】函数的定义域为,且对任意,有,且当时.

（1）证明:是奇函数;

（2）证明:在上是减函数;

（3）求在区间上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6.

【解析】

（1）令x＝y＝0，则可得f（0）＝0；y＝﹣x，即可证明f（x）是奇函数，

（2）设x1＞x2，由已知可得f（x1﹣x2）＜0，再利用f（x+y）＝f（x）+f（y），及减函数的定义即可证明．

（3）由（2）的结论可知f（﹣3）、f（3）分别是函数y＝f（x）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f（﹣3）与f（3）就可得所求值域．

（1）因为的定义域为,且,

令得,所以;

令,则,所以,

从而有,所以,所以是奇函数.

（2）任取,且,

则

,

因为,所以,所以,所以,

所以,从而在上是减函数.

（3）由于在上是减函数,

故在区间上的最大值是,最小值是,

由于,所以

,

由于为奇函数知， ,

从而在区间上的最大值是6,最小值是6.