Question

【题目】已知函数，是奇函数．

（1）求，的值；

（2）证明：是区间上的减函数；

（3）若，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；（3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

（1）∵函数，是奇函数，

∴，且，

即，.

（2）证明：由（1）得，，

设任意且，

∴ ，

∵，∴，∴，

又∵，，

∴，∴.

∴是区间上的减函数．

（3）∵，

∴，

∵奇函数，∴，

∵是区间上的减函数，

∴即有，

∴，

则实数的取值范围是.