题目内容
（2013•日照二模）已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)过点D（1，
），焦点为F1，F2，满足
.
=
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，P为椭圆上一点，且满足
+
=t
（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| DF1 |
| DF2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，P为椭圆上一点，且满足
| OA |
| OB |
| OP |
分析：（Ⅰ）把点的坐标代入椭圆方程得到一个关于a，b的方程，由
.
=
代入坐标后求出c的值，结合a2-b2=c2得到关于a，b的另一方程联立后可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入
+
=t
后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．
| DF1 |
| DF2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入
| OA |
| OB |
| OP |
解答：解：（Ⅰ）由已知过点D(1，
)，得
+
=1，①
记c=
，不妨设F1（-c，0），F2（c，0），则
1=（-c-1，-
），
=（c-1，-
），
由
1•
=
=(-c-1)(c-1)+(-
)2，得c2=1，即a2-b2=1．②
由①、②，得a2=2，b2=1．
故椭的方程为
+y2=1．
（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．
由
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
．
x1+x2=
，x1x2=
，
∵
+
=t
，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
x=
=
，y=
=
[k(x1+x2)-4k]=
∵点P在椭圆上，∴
+2
=2．
∴16k2=t2（1+2k2），t2=
=
＜
=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．
| ||
| 2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| 2b2 |
记c=
| a2-b2 |
| DF |
| ||
| 2 |
| DF2 |
| ||
| 2 |
由
| DF |
| DF2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
由①、②，得a2=2，b2=1．
故椭的方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．
由
|
△=64k2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
| 1 |
| 2 |
x1+x2=
| 8k2 |
| 1+2k2 |
| 8k2-2 |
| 1+2k2 |
∵
| OA |
| OB |
| OP |
x=
| x1+x2 |
| t |
| 8k2 |
| t(1+2k2) |
| y1+y2 |
| t |
| 1 |
| t |
| -4k |
| t(1+2k2) |
∵点P在椭圆上，∴
| (8k2)2 |
| t2(1+2k2)2 |
| (-4k)2 |
| t2(1+2k2)2 |
∴16k2=t2（1+2k2），t2=
| 16k2 |
| 1+2k2 |
| 16 | ||
|
| 16 |
| 2+2 |
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．
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