Question

（1）若关于x的不等式tx²-6x+t²＜0的解集（-∞，a）∪（1，+∞），求a的值．
（2）如果不等式（m+1）x²+2mx+m+1＞0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的解集与方程根之间的关系，确定a，1是方程tx²-6x+t²=0的两根，且a＜1，再利用根与系数的关系，即可求得a的值；
（2）当m+1=0时，经检验不满足条件．当m≠0时，由题意可得-2x＞0不成立，从而得出结论．

解答：解：（1）∵tx²-6x+t²＜0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞）
∴t＜0
x=1代入得t-6+t²=0
解得：t=-3或t=2（舍去）
∵a•1=t=-3
a=-3

(2)∵不等式(m+1)x2+2mx+m+1＞0对任意实数都成立 ∴当m+1≠0时，△=4m2-4(m+1)2＜0 ∴m＞- 1 2 当m+1=0时，-2x＞0不成立 故m＞- 1 2

点评：本题考查不等式的解集和函数的恒成立问题，考查根与系数关系的运用，利用不等式的解集与方程根之间的关系是解题的关键，体现了分类讨论的数学思想．