Question

已知抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）若关于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且三角形ABC的面积等于2，试求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数解析式得，二次项的系数不为零、判别式大于零，求出实数m的范围；
（2）由韦达定理求出两根之和、两根之积，再求出

1

x1

+

1

x2

的值，根据完全平方和公式得出

1

x12

+

1

x22

的值，再由题意列出不等式，求出m的范围；
（3）先求出C点的纵坐标，再把面积公式用（2）的两根之差表示出来，再由x₁-x₂与x₁+x₂、x₁x₂之间关系，列出关于m的不等式，求出m的范围．

解答：解：（1）由题意知，有

m-1≠0 △=(m-2)2+4(m-1)＞0

，解得m²＞0且m≠1，
∴m的取值范围为{m|m≠0且m≠1}．             
（2）在（1）的条件下，设（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=

m-2

1-m

，x₁x₂=

1

1-m

，∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=m-2
∴

1

x12

+

1

x22

=(

1

x1

+

1

x2

)2-

2

x1x2

=（m-2）²+2（m-1）≤2，即m²-2m≤0，
解得，0≤m≤2，
∴m的取值范围为{m|0＜m＜1或1＜m≤2}．
（3）由（2）知，A和B点的横坐标为：x₁、x₂，设点C的纵坐标为y_c，
把x=0代入解析式得，y_c=-1，
∵三角形ABC的面积等于2，∴

1

2

|x₁-x₂|•|y_c|=2，∴|x₁-x₂|=4，
∵x₁+x₂=

m-2

1-m

，x₁x₂=

1

1-m

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，即(

m-2

1-m

)2-4×

1

1-m

=16，
解得，m=

4

3

或

4

5

．

点评：本题是有关二次函数与二次方程的关系，考查了一元二次方程根的分布问题，以及系数关系，韦达定理的应用：即x₁-x₂与x₁+x₂、x₁x₂之间的关系．