Question

【题目】已知四棱锥中，平面平面ABCD，且，E为PA的中点.

（Ⅰ）求证：平面PBC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．

（Ⅱ）取的中点，连结，，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，

由已知得为的中点，，，

又，，，，

四边形为平行四边形，

，又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）取的中点，连结，，

因为，

所以，又平面平面ABCD，所以平面ABCD，

所以，由已知得，

以OD，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设，故，

所以.

设平面EBD的法向量为，则，

又，

所以，取，即.

又平面BDC的法向量为， ，，，

所以.

又二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.