Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若，d_n=，P=d₁+d₂+d₃+…+d₂₀₁₃，求不超过P的最大整数的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为S_n+a_n=-n+1（n∈N^*），当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-，两式相减得出2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，构造出b_n=b _n-1（n≥2），从而数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得nb_n=．利用错位相消法求和即可
（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴c_n=n，d_n====1+=1+裂项求和法求得P=
不超过P的最大整数为2013．
解答：解：（Ⅰ） 因为S_n+a_n=-n+1（n∈N^*）
所以   ①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=，…．（1分）
②当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-
，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，
所以b_n=b _n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=，…．（3分）
所以数列数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列，所以b_n=（）ⁿ
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nb_n=．
所以  ①
②…．（6分）
②-①得：…．（7分）…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知∴c_n=n…（9分）
而d_n====1+=1+

…（11分）
所以，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）
点评：本题考查数列通项公式求解，错位相消法求和，裂项法求和，转化计算能力．