Question

Rt△ABC的三个顶点在给定的抛物线y²=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴且|AB|＞4p，则AB边上的高|CD|=

2p

．

Answer 1

分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C，E的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．

解答：解：由题意可得：A，B，C均在抛物线y²=2px（p＞0）上，并且斜边AB平行于y轴，
所以A、B两点关于x轴对称，
设斜边AB交x轴于点E，并且设A（

b2

2p

，b），B（

b2

2p

，-b），C（

a2

2p

，a），E（

b2

2p

，0），
所以斜边上的高|CD|=

b2

2p

-

a2

2p

=

b2-a2

2p

．
因为△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
所以|CE|=b，
又由两点之间的距离公式可得：|CE|=

( a2 2p - b2 2p )2+a2

，
所以

( a2 2p - b2 2p )2+a2

=b，平方整理可得：(

b2-a2

2p

)2=b2-a2
所以得到

b2-a2

2p

=2p，即|CD|=2p．
故答案为：2p．

点评：本题主要考查抛物线的方程与三角形的一个性质，解决此题的关键是具有较高的观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，进而利用两种形式表达出斜边的中线，再巧妙地代换未知量．