Question

（2010•山东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC_l=4，E在BB_l上，且EB₁=1，D、F分别为CC_l、A_lC₁的中点．
（I）求证：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求异面直线BD与EF所成的角余弦值；
（Ⅲ）求直线EF与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB₁上，且EB₁=1，我们根据勾股定理，可得B₁D⊥DB，再由直三棱柱的性质可得BA⊥B₁D，进而根据线面垂直的判定定理可得B₁D⊥面ABD；
（Ⅱ）取B₁C₁的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，我们可得∠GEF或其补角为BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出异面直线BD与EF所成的角；
（Ⅲ）根据F，G分别为对应边的中点，得到GF∥A₁B₁∥AB；再结合EG∥BD可得平面ABD∥平面GEF，进而得到结论．

解答：解：（I）证明：由条件得 DB=2

2

，D₁1=2

2

，BB₁=4
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
（Ⅱ）取B₁C₁的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=

2

，GF=2，∴tan∠GEF=

2

，
∴cos∠GEF=

6

3

．
∴BD与EF所成角的余弦值

6

3

．（8分）
（Ⅲ）∵F，G分别为对应边的中点，
∴GF∥A₁B₁∥AB，
又由第二问得：EG∥BD
∴平面ABD∥平面GEF，
所以有：EF∥平面ABD．
故直线EF与平面ABD所成角的正弦值为0．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，线面所成的角等，（1）的关键是根据已知得到B₁D⊥DB，BA⊥B₁D，（2）的关键是找出异面直线夹角的平面角．