Question

（08年调研一理） （12分）已知双曲线将双曲线C按向量）平移，平移后的双曲线的左焦点为点P.

       （Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若曲线E的图象上存在两点A、B关于直线对称，求斜率k的取值范围.

Answer 1

解析：（I）由已知可求得双曲线C的左焦点为F（－5，0），双曲线C按向量平移后的左

焦点为                         ………………（2分）

∴点P的轨迹E的方程为                        ………………（4分）

（II）设与已知直线（显然）垂直的直线为

为截距），与抛物线联立消去y得

∵直线相交于A、B两点，

……①            …………………（6分）

设

从而

 

线段AＢ的中点为，将AB的中点代入直线得

.             ………………（9分）

将此式代入①整理后得，

而恒有

故所求斜率k的取值范围是.                    ………………（12分）