Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中.

（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B；                    

（Ⅱ）求三棱锥B₁－A₁C₁B的体积；

（Ⅲ）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，连BD、B₁D₁，

∵ A₁B₁C₁D₁是正方形，

∴ A₁C₁⊥B₁D₁，

又∵ BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁底面A₁B₁C₁D₁，

∴ A₁C₁⊥BB₁，

∴ A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，

∴ B₁D⊥A₁C₁，同理可证：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁＝C₁，

故B₁D⊥平面A₁C₁B.………………………………………6’

（Ⅱ）解9＝··1·1·1＝.

（Ⅲ）解：∵ AA₁∥BB₁，

∴ 异面直线BC₁与AA₁所成的角就是BC₁与BB₁所成的角，即∠B₁BC₁＝45⁰.

故异面直线BC₁与AA₁所成的角为45⁰.……………………………………………13’