Question

7．已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），且a₁=2，a₃+a₅=-4．
（1）若k=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若a₄=-1，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）若k=0，则数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*，k∈R），则数列{a_n}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），a₃+a₅=-4，a₄=-1，可得2a₄=a₃+a₅+k，k=2．数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2+2，利用递推关系可得：2（a_n+1-a_n）=（a_n-a_n-1）+（a_n+2-a_n+1），令b_n=a_n+1-a_n，则2b_n=b_n-1+b_n+1．数列{b_n}是等差数列，即可得出．

解答 解：（1）若k=0，则数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*，k∈R），
∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
∵a₁=2，a₃+a₅=-4．
∴2×2+6d=-4，解得d=$-\frac{4}{3}$．
∴S_n=2n$-\frac{4}{3}$×$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{-2{n}^{2}+8n}{3}$．
（2）2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），a₃+a₅=-4，a₄=-1，
则2a₄=a₃+a₅+k，
-2=-4+k，
解得k=2．
数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2+2，
当n≥2时，2a_n=a_n-1+a_n+1+2，
相减可得：2（a_n+1-a_n）=（a_n-a_n-1）+（a_n+2-a_n+1），
令b_n=a_n+1-a_n，
则2b_n=b_n-1+b_n+1．
∴数列{b_n}是等差数列，公差=b₄-b₃=（a₅-a₄）-（a₄-a₃）=-2．
首项为b₁=a₂-a₁，b₂=a₃-a₂，b₃=a₄-a₃，
由2b₂=b₁+b₃，可得2（a₃-a₂）=a₂-2-1-a₃，
解得3（a₃-a₂）=-3，b₂=a₃-a₂=-1．
∴b_n=b₂+（n-2）（-2）=-2n+3．
∴a_n+1-a_n=-2n+3．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[-2（n-1）+3]+[-2（n-2）+3]+…+（-2+3）+2
=$\frac{（n-1）（1+5-2n）}{2}$+2
=-n²+4n-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．