Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M，N分别为PB，AC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；           
（2）求点B到平面AMN的距离．

Answer 1

分析：（1）连接BD，则BD∩AC=N，利用三角形中位线的性质，可得MN∥PD，利用线面平行的判定，即可得到MN∥平面PAD；           
（2）利用V_M-ABN=V_B-AMN，可求点B到平面AMN的距离．

解答：（1）证明：连接BD，则BD∩AC=N
∵M，N分别为PB，AC的中点，
∴MN是△BPD的中位线
∴MN∥PD
∵MN?平面PAD，PD?平面PAD
∴MN∥平面PAD；
（2）解：设点B到平面AMN的距离为h，则
∵底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，
∴AM=AN=

2

2

，MN=

2

2

∴S△AMN=

3

8

∵S△ABN=

1

4

，M到平面ABN的距离为

1

2

∴由V_M-ABN=V_B-AMN，可得

1

3

×

1

4

×

1

2

=

1

3

×

3

8

h
∴h=

3

3

，即点B到平面AMN的距离为

3

3

．

点评：本题考查线面平行，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．