Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f(x+

3

2

)=-f(x)，且f（1）=2014，则f（2014）=

2014

．

Answer 1

分析：由已知f(x+

3

2

)=-f(x)可得，f（x+3）=f（x），求出函数f（x）的一个周期，从而利用周期性可求得f（2014）的值．

解答：解：由已知可得，f(x+

3

2

)=-f(x)，
∴f（x+3）=f（（x+

3

2

）+

3

2

）=-f（x+

3

2

）=-[-f（x）]=f（x）．
∴3是函数f（x）的一个周期．
∴f（2014）=f（671×3+1）=f（1），
又f（1）=2014，
∴f（2014）=2014．
故答案为：2014．

点评：本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+m）=-f（x）（m≠0），则2m为函数f（x）的一个周期．