Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据两条渐近线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，可得双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．利用双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，可得a²=1，从而可求双曲线C的方程．
（2）直线与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而根据直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根求得m的范围，表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据m的范围求得b的范围．

解答：解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，∴2a²=2，a²=1．
∴双曲线C的方程为：x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0且 -2 1-m2 ＞0

，解得1＜m＜

2

．又AB中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直线l的方程为：y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

点评：本题以直线与圆的位置关系为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系解题的关键是将直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根，从而确定m的范围．用m表示b的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．