Question

已知函数.
（1）当时，设.讨论函数的单调性；
（2）证明当.

Answer 1

（1）当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数.
（2）见解析.

试题分析：（1）求导数，研究导函数值的正负，确定单调区间.
由于，当时，.
所以，讨论当，即时，当，即时，即得结论；
（2）构造函数，由于导数，通过确定函数的单调性及最值，达到解题目的.
由于，
所以令，再次利用导数加以研究，
当时， 在上是减函数，
当时， 在上是增函数，
又
得到当时,恒有,即,
在上为减函数，由，得证.
（1），所以．        2分
当时，，故有：
当，即时，，；
当，即时，，
令，得；令，得，        5分
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．  6分
（2）设，则，
令，则，               8分
因为，所以当时，；在上是减函数，
当时，，在上是增函数，
又所以当时,恒有,即,
所以在上为减函数，所以，
即当时，.                 13分