Question

设函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）若在上为增函数，求正数的取值范围.

Answer 1

（1）最小值为，最大值为；（2）.

试题分析：（1）当时，,其导函数，易得当时，，即函数在区间上单调递增，又函数是偶函数，所以函数在上单调递减，在上的最小值为，最大值为；
（2）由题得：在上恒成立，易证，若时，则，所以；若时，易证此时不成立.
(1)当时，, ，
令，则恒成立，
∴为增函数，
故当时， 
∴当时，，∴在上为增函数，
又为偶函数，在上为减函数，
∴在上的最小值为，最大值为.
（2）由题意，在上恒成立.
（ⅰ）当时，对，恒有，此时，函数在 上为增函数，满足题意；
（ⅱ）当时，令，，由得，
一定，使得，且当时，，在上单调递减，此时，即，所以在为减函数，这与在为增函数矛盾.
综上所述：.