Question

　　已知扇形的周长为20cm，问扇形的圆心角a为何值时，扇形面积S最大？并求出S的最大值。

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：解答本题，需灵活运用弧度制下的弧长和面积公式，本题是求扇形面积的最大值，以扇形的半径r(或圆心角a)的自变量，寻找函数关系式，而后求函数的最大值，从而解决问题。 　　解法一：设扇形的半径r，弧长为，面积为S,即l=20-2g. 　　S=, 　　当r=5时，S有最大值25，此时l=10, a==2rad. 　　所以当a=2rad时，最大值为25. 　　解法二：由题意r·a+2r=20,即, 　　整理得S+(4S-200)a+4S=0 　　由S≠0,且△=≥0，∴S≤25 　　当S=25时，可求得a=2. 　　∴当a=2rad时，S有最大值，最大值是25 　　评注：(1)涉及到最大值或最小值问题时，应先建立函数关系，再通过求函数的最大值和最小值，可以求得问题的解，这种思维过程体现函数思想的数学模式，是解决最值问题的基本思想方法，解法一借助了中间量l和r来表示S，这样做可以转化为我们比较熟悉的二次函数来解，解法二中求最值采用的是判别式法。 　　(2)若扇形的周长为定值，当圆心角为2rad时，扇形面积最大，反之，若扇形的面积为定值，当圆心角为2rad时，扇形的周长最小。