Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增取区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1为一个角的有关三角函数的形式，利用y=sinx的增减性求函数f（x）的单调递增取间．
（2）求出g(x)=

2

sin(x+

π

4

)，求出最大值时的x的值即可．

解答：解：（1）f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)即kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，(k∈Z)，
因此，函数f（x）的单调递增取间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

4

](k∈Z)．
（2）由已知，g(x)=

2

sin(x+

π

4

)，
∴当sin(x+

π

4

)=1，即x+

π

4

=2kπ+

π

2

，也即x=2kπ+

π

4

(k∈Z)时，g(x)max=

2

．
∴当{x|x=2kπ+

π

4

(k∈Z)}，g（x）的最大值为

2

．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，函数图象的变化，三角函数的最值，是基础题．