Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得a_n-a_n-1=2n（n≥2），再给n具体值列出方程，利用叠加法和等差数列的前n项和公式，求出a_n；
（2）由（1）表示出b_n，再通过裂项相消法化简b_n，构造函数y=2x+

1

x

+3判断出单调性，再求出2n+

1

n

+3的最小值，即求出b_n的最大值，由恒成立列出不等式：t²-2mt＞0，再一次构造函数g（m）=t²-2mt，并进行分类列出恒成立的条件，求出t的范围．

解答：解：（1）由题意得a_n+1-a_n-2n-2=0，则a_n+1-a_n=2n+2，
∴a_n-a_n-1=2n（n≥2），
∴a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，…，a_n-a_n-1=2n，
通过叠加得a_n=2（2+3+…+n）+a₁
=2×

(n-1)(n+2)

2

+2=n（n+1）（n≥2）．
又∵a₁=2符合此通项公式，
∴a_n=n（n+1），
（2）由（1）得，bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+

1

(n+3)(n+4)

+…+

1

2n(2n+1)

=（

1

n+1

-

1

n+2

）+（

1

n+2

-

1

n+3

）+（

1

n+3

-

1

n+4

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）
=

1

n+1

-

1

2n+1

=

n

2n2+3n+1

=

1

2n+ 1 n +3

，
设y=2x+

1

x

+3，则函数在（

2

2

，+∞）上递增，
∴当n=1时，2n+

1

n

+3取到最小值为6，
∴b_n的最大值为b1=

1

6

，
故要使不等式t2-2mt+

1

6

＞bn对一切m∈[-1，1]成立，
须使t2-2mt+

1

6

＞

1

6

，即t²-2mt＞0对一切m∈[-1，1]恒成立．
设g（m）=t²-2mt，
当t=0时，g（m）＞0不成立，
当t≠0时，g（m）是一次函数，
则

g(1)＞0 g(-1)＞0

，即

t2-2t＞0 t2+2t＞0

，解得t＞2或t＜-2，
综上得，t的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评：本题是数列与不等式结合的综合题，考查了等差数列的前n项和公式，叠加法求通项公式，裂项相消法求数列的和，构造函数法等，综合性强、难度大．