题目内容
若把函数y=lnx的图象绕原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，则tanα=（ ）
分析：设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x0，y0），由题意可得 k=
=
，求得x0=e．由此能求出tanθ．
| lnx0 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
解答：解：利用函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转一个α角后与y轴相切，
知函数y=lnx的一条切的倾斜角为
-α，
设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x0，y0），
则由题意可得，切线的斜率为 k=
=
，
∵y=lnx，
∴y′=
，
再由导数的几何意义可得 k=f′（x0）=
，
∴
=
，∴x0=e．
再由α的意义可得，tanα=cot（
-α）=
=x0=e．
故选B．
知函数y=lnx的一条切的倾斜角为
| π |
| 2 |
设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x0，y0），
则由题意可得，切线的斜率为 k=
| y0 |
| x0 |
| lnx0 |
| x0 |
∵y=lnx，
∴y′=
| 1 |
| x |
再由导数的几何意义可得 k=f′（x0）=
| 1 |
| x0 |
∴
| lnx0 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
再由α的意义可得，tanα=cot（
| π |
| 2 |
| 1 |
| k |
故选B．
点评：本题主要考查函数的导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图象的变化，属于基础题．
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；
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