Question

已知函数a、c∈R满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．
（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先函数是二次函数，再利用二次函数的性质解决对一切x∈R，都有f（x）≥0；根据f（1）=0得 ，即，从而可得  ，进而可得，，
另解：首先函数是二次函数，再利用二次函数的性质解决对一切x∈R，都有f（x）≥0；由f（1）=0，得 ，代入上式得  ，根据 ，可得，从而有 ，故可求a、c的值；
（Ⅱ）．该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值-5．根据函数的对称轴与区间的关系进行分类讨论，从而可求m的值
解答：解：（Ⅰ）当a=0时，．
由f（1）=0得：，即，∴．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．
∴a≠0，函数是二次函数．                                            …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即（*）…（4分）
由f（1）=0得 ，即，代入（*）得  ．
整理得 ，即．
而，∴．
将代入（*）得，，
∴．                                                                           …（7分）
另解：（Ⅰ）当a=0时，．
由f（1）=0得  ，即，
∴．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，
∴a≠0，因而函数是二次函数．                                        …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即 …（4分）
由此可知  a＞0，c＞0，
∴．
由f（1）=0，得 ，代入上式得  ．
但前面已推得  ，
∴．
由   解得 ．                                                       …（7分）
（Ⅱ）∵，∴．
∴．
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．                                                …（8分）
假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值-5．
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=-5，
即     ，
解得  m=-3或m=．
∵＞-1，∴m=舍去．                                                          …（10分）
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=-5，
即    ．
解得   m=或m=，均应舍去．                                    …（12分）
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=-5，
即    ．
解得  m=或m=，其中m=应舍去．
综上可得，当m=-3或m=时，函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5．
…（14分）
点评：本小题主要考查函数、方程、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力，本题考查的重点是函数的解析式的求解与函数最值的研究，解题的关键是合理运用函数的性质，正确分类，同时考查学生分析解决问题的能力，有一定的综合性．