Question

已知函数f（x）=x²-ax+lnx+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值；
（2）若f（x）在其定义域内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=x²-ax+lnx+b
∴f′(x)=2x-a+

1

x

…（2分）
∴f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a…（4分）
（1）∵函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y+2=0
∴

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

解得：a=4，b=0．…（7分）
（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定义域为{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定义域内单调递增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允许个别点处等于零）   …（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即2x²-ax+1＞0
令g（x）=2x²-ax+1，则其对称轴方程是x=

a

4

．
当

a

4

≤0即a≤03时，g（x）在区间（0，+∞）上递增
∴g（x）在区间[0，+∞）上有g（x）_min=g（0）=1＞0，满足条件．…（11分）
当

a

4

＞0即a＞0时，g（x）在区间(0，

a

4

)上递减，g（x）在区间(

a

4

，+∞)上递增，
则g(x)min=g(

a

4

)=-

a2

8

+1≥0（a＞0）…（13分）
解得：0＜a≤2

2

综上所得，a≤2

2

…（14分）
另（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定义域为{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定义域内单调递增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允许个别点处取到等号）…（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即a＜2x+

1

x

(x＜0)（允许个别值处取到等号）…（10分）
令g(x)=2x+

1

x

(x＜0)，则a≤g（x）_min，…（11分）
因为g(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，
当且仅当2x=

1

x

即x=

2

2

时取到等号．…（13分）
所以 g(x)min=2

2

，所以a≤2

2

…（14分）