Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁．
（1）试求

AD

DC1

的值；
（2）求二面角F-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AFC的距离．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点O，以OB为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设

AD

DC1

=λ，根据

FD

•

AC1

=0建立关于λ的方程，可求出所求；
（2）先求出平面FAC₁的一个法向量

n1

，再求出平面ACC₁的一个法向量

n2

，根据

n1

⊥

n2

，可得二面角F-AC₁-C的大小；
（3）先求出平面AFC的一个法向量

n

，然后根据C₁到平面AFC的距离为d=

| n • AC1 |

| n |

进行求解即可．

解答：解：取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A(0，0，

3

)，B(1，0，0)，C(-1，0，0)，B1(1，2，0)，C1(-1，2，0)，F(1，1，0)
（1）设

AD

DC1

=λ，则

AD

=λ

DC1

，
得D(-

λ

1+λ

，

2λ

1+λ

，

3

1+λ

)，

FD

=(

-1-2λ

1+λ

，

λ-1

1+λ

，

3

1+λ

)，

AC1

=(-1，2，-

3

)
∵FD⊥AC₁．
∴

FD

•

AC1

=0
即-1×

-1-2λ

1+λ

+2×

λ-1

1+λ

+(-

3

)×

3

1+λ

=0
解得λ=1，即

AD

DC1

=1．（4分）
（2）设平面FAC₁的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，1）
∵

AF

=（1，1，

3

），由n1⊥

AF

得x1+y1-

3

=0，
又由n1⊥

AC1

，得-x1+2y1-

3

=0，
∴

x1= 3 3 y1= 2 3 3

∴

n1

=（

3

3

，

2 3

3

，1）
仿上可得平面ACC₁的一个法向量为n2=(-

3

，0，1)．（6分）
∵

n1

•

n2

=-

3

×

3

3

+0+1×1=0
∴

n1

⊥

n2

．故二面角F-AC₁-C的大小为90°．（8分）
（3）设平面AFC的一个法向量为

n

=(x，y，1)，
由

n

⊥

AF

得x+y-

3

=0
又

AC

=（-1，0，-

3

），由

n

⊥

AC

得-x-

3

=0．
解得

x=- 3 y=2 3

，∴

n

=（-

3

，2

3

，1）
所以C₁到平面AFC的距离为d=

| n • AC1 |

| n |

=

|-1×(- 3 )+2×2 3 - 3 ×1|

(- 3 )2+(2 3 )2+12

=

3

．

点评：本题主要考查空间线线、线面关系及二面角的求法，同时考查了推理论证的能力和运算求解的能力，属于中档题．