Question

设f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导函数为f′(x),且对任意正数x均有f′(x)＞,

(Ⅰ)求证：F(x)=在(0,+∞)上是增函数；

(Ⅱ)设x₁,x₂∈(0,+∞),比较f(x₁)+f(x₂)与f(x₁+x₂)的大小，并证明你的结论；

(Ⅲ)设x₁,x₂,…x_n∈(0,+∞),若n≥2,比较f(x₁)+f(x₂)+…f(x_n)与f(x₁+x₂+…+x_n)的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析：(Ⅰ)F′(x)=,∵f′(x)＞,x＞0,

∴xf′(x)＞f(x),∴F′(x)＞0,∴F(x)在(0,+∞)上是增函数.

(Ⅱ)∵0＜x₁＜x₁+x₂,∴F(x₁)＜F(x₁+x₂).

    即＜,∴(x₁+x₂)f(x₁)＜x₁f(x₁+x₂).

    同理(x₁+x₂)f(x₂)＜x₂f(x₁+x₂),

∴f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂).

(Ⅲ)当n=2时，f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂)成立,

    假设当n=k时，f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_k)＜f(x₁+x₂+…+x_k)成立.

    那么f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_k)+f(x_k+1)＜f(x₁+x₂+…+x_k)+f(x_k+1)＜f(x₁+x₂+…+x_k+1)成立.

∴当n=k+1时也成立，

    当n≥2时,

∴f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)＜f(x₁+x₂+…+x_n).