Question

设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.

(1)求φ;

(2)求函数y=f(x)的单调增区间；

（3）画出函数y=f(x)在区间［0，π）上的图象；

（4）此函数图象如何由y=sinx图象变化得到？

Answer 1

思路分析：对称轴必经过三角函数的最高点或最低点，即f()=±1,由此求出φ，后面的问题就可获解.

解：（1）∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴，

∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+,k∈Z.

∵-π＜φ＜0,∴φ=-.

(2)由（1）知φ=-,因此y=sin(2x-).

由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.

∴函数y=sin(2x-)的单调增区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.

(3)由y=sin(2x-)知

x	0					π
y		-1	0	1	0

故函数y=f(x)在区间［0，π］上的图象是

（4）将y=sinx的图象向右平移个单位，得到y=sin(x)的图象，然后将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）,得到函数y=sin(2x)的图象.

另解：先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，变为y=sin2x的图象，再将图象向右平移个单位，得到y=sin［2(x-)］=sin(2x)的图象.

思想方法小结：利用函数的对称性解题，通过数形结合得到方程，根据已知条件确定相应的φ值，这是本题的关键.画图象要视问题的情况，灵活使用“描点法”或“五点法”.